Ein vereinfachter Ansatz zur Berechnung der Volatilität Viele Anleger haben anomale Werte der Volatilität der Anlageperformance während verschiedener Perioden des Marktzyklus erlebt. Während die Volatilität größer sein kann als in bestimmten Zeiträumen erwartet wird, kann ein Fall auch gemacht werden, dass die Art und Weise, in der die Volatilität typischerweise gemessen wird, zum Problem der unerwarteten Volatilität beiträgt. Der Zweck dieses Artikels ist es, die mit der traditionellen Volatilität verbundenen Fragen zu erörtern und einen intuitiveren Ansatz zu erläutern, der von Anlegern genutzt werden kann, um ihnen bei der Bewertung der Größenordnung ihrer Anlagerisiken zu helfen. Traditionelles Volatilitätsmaß Die meisten Anleger sollten sich bewusst sein, dass die Standardabweichung die typische statistische Kennzahl für die Volatilität ist. Standardabweichung ist einfach definiert als die Quadratwurzel der mittleren quadratischen Abweichung der Daten von ihrem Mittelwert. Während diese Statistik relativ einfach zu berechnen ist, sind die Annahmen hinter ihrer Interpretation komplexer, was wiederum Anlass zur Sorge um ihre Genauigkeit gibt. Als Ergebnis gibt es eine gewisse Skepsis um ihre Gültigkeit als ein genaues Maß für das Risiko. (Um mehr zu erfahren, siehe Die Verwendungen und Grenzen der Volatilität.) Um zu erklären, dass für eine Standardabweichung eine genaue Risikomasse vorliegt, muss davon ausgegangen werden, dass die Anlagerendaten einer normalen Verteilung folgen. In grafischer Form wird eine normale Verteilung der Daten auf einem Diagramm in einer Weise aufgetragen, die wie eine glockenförmige Kurve aussieht. Wenn dieser Standard zutrifft, sollten etwa 68 der erwarteten Ergebnisse zwischen 1 Standardabweichungen von der erwarteten Rendite der Investitionen liegen. 95 sollte zwischen 2 Standardabweichungen liegen und 99 zwischen 3 Standardabweichungen liegen. Während des Zeitraums vom 1. Juni 1979 bis zum 1. Juni 2009 betrug die auf drei Jahre angewachsene jährliche durchschnittliche Performance des SampP 500 Index 9,5 und die Standardabweichung lag bei 10. Angesichts dieser Ausgangsparameter würde man erwarten Dass 68 der erwarteten Leistung des SampP 500 Index in einem Bereich von -0,5 und 19,5 (9,5 10) liegen würde. Leider gibt es drei Hauptgründe, warum Investment Performance Daten nicht normal verteilt werden können. Erstens ist die Anlageperformance typischerweise schief, was bedeutet, dass Rückkehrverteilungen typischerweise asymmetrisch sind. Infolgedessen neigen Investoren dazu, ungewöhnlich hohe und niedrige Perioden der Leistung zu erfahren. Zweitens zeigt die Anlageperformance typischerweise eine Eigenschaft, die als Kurtosis bekannt ist. Was bedeutet, dass die Anlageperformance eine ungewöhnlich große Anzahl positiver und und negativer Perioden aufweist. Zusammengenommen verzerren diese Probleme das Aussehen der Glockenkurve und verzerren die Genauigkeit der Standardabweichung als ein Maß für das Risiko. Zusätzlich zur Schiefe und Kurtosis ist auch ein Problem bekannt, das als Heteroskedastizität bekannt ist. Heteroskedastizität bedeutet einfach, dass die Varianz der Sample-Investment-Performance-Daten nicht über die Zeit konstant ist. Als Folge davon neigt die Standardabweichung dazu, auf der Basis der Länge der Zeitdauer, die verwendet wird, um die Berechnung durchzuführen, oder die Zeitdauer, die ausgewählt wird, um die Berechnung durchzuführen, zu schwanken. Wie Schiefe und Kurtosis, die Verzweigungen der Heteroskedastizität wird dazu führen, dass Standardabweichung ein unzuverlässiges Maß für das Risiko sein. Zusammengenommen können diese drei Probleme dazu führen, dass die Anleger die potenzielle Volatilität ihrer Anlagen missverstehen und potenziell viel mehr Risiken als erwartet antizipieren. (Um mehr zu erfahren, siehe unsere CFA Level 1- quantitative Methoden Exam Guide.) Ein vereinfachtes Maß an Volatilität Glücklicherweise gibt es eine viel einfachere und genauere Möglichkeit, zu messen und zu untersuchen Risiko. Durch ein Verfahren, das als historisches Verfahren bekannt ist, kann das Risiko in einer informativeren Weise erfasst und analysiert werden als durch die Verwendung einer Standardabweichung. Um diese Methode nutzen zu können, müssen die Anleger lediglich die historische Performance ihrer Anlagen graphisch darstellen, indem sie ein Diagramm erzeugen, das als Histogramm bekannt ist. Ein Histogramm ist ein Diagramm, das den Anteil der Beobachtungen, die innerhalb eines Wirtes der Kategoriebereiche fallen. Beispielsweise wurde in der nachstehenden Grafik die dreijährige fortlaufende jährliche durchschnittliche Performance des SampP 500 Index für den Zeitraum vom 1. Juni 1979 bis zum 1. Juni 2009 erstellt. Die vertikale Achse stellt die Größe der Leistung des SampP 500 Index dar, und die horizontale Achse stellt die Frequenz dar, in der der SampP 500 Index eine solche Leistung erlebt hat. Abbildung 1: SampP 500 Index Performance Histogramm Quelle: Investopedia 2009 Wie das Diagramm zeigt, ermöglicht die Verwendung eines Histogramms Investoren, den Prozentsatz der Zeit zu bestimmen, in der die Performance einer Anlage innerhalb, über oder unterhalb eines bestimmten Bereichs liegt. So erreichten 16 der SampP 500 Index-Leistungsbeobachtungen eine Rendite zwischen 9 und 11,7. In Bezug auf die Leistung unterhalb oder oberhalb einer Schwelle kann auch festgestellt werden, dass der SampP 500 Index einen Verlust von mehr als oder gleich 1,1, 16 der Zeit und Leistung über 24,8, 7,7 der Zeit erlebt hat. Vergleich der Methoden Die Verwendung der historischen Methode über ein Histogramm hat drei wesentliche Vorteile gegenüber der Standardabweichung. Erstens erfordert die historische Methode nicht, dass die Anlageperformance normal verteilt wird. Zweitens werden die Auswirkungen von Schiefe und Kurtosis explizit in der Histogrammkarte erfasst, die Investoren die notwendigen Informationen zur Verfügung stellt, um unerwartete Volatilitätsüberraschung zu mildern. Drittens können die Anleger die Höhe der erlittenen Gewinne und Verluste untersuchen. Der einzige Nachteil der historischen Methode ist, dass das Histogramm, wie die Verwendung von Standardabweichung, unter den potenziellen Auswirkungen der Heteroskedastizität leidet. Dies sollte jedoch keine Überraschung sein, da die Anleger verstehen sollten, dass die Wertentwicklung in der Vergangenheit nicht auf künftige Erträge hindeutet. In jedem Fall ist die historische Methode auch bei dieser Einschätzung nach wie vor eine hervorragende Grundlage für das Anlagerisiko und sollte von Investoren für die Bewertung der Höhe und Häufigkeit ihrer potenziellen Gewinne und Verluste in Verbindung mit ihren Anlagechancen genutzt werden. Anwendung der Methodik Jetzt, da die Anleger verstehen, dass die historische Methode als informative Methode zur Risikomessung und - analyse genutzt werden kann, stellt sich die Frage, wie Investoren ein Histogramm generieren, um die Risikoattribute ihrer Anlagen zu untersuchen Ist es, die Investment Performance Informationen von den Investment-Management-Unternehmen anzufordern. Allerdings können die notwendigen Informationen auch durch das Erfassen des monatlichen Schlusskurses der Anlageoption, der typischerweise aus verschiedenen Quellen ermittelt wird, und dann die manuelle Berechnung der Anlageperformance erhalten werden. Nachdem Leistungsinformationen gesammelt oder manuell berechnet wurden, kann ein Histogramm konstruiert werden, indem die Daten in ein Softwarepaket wie Microsoft Excel importiert werden. Und das Software-Add-On-Feature für die Software. Durch die Nutzung dieser Methodik sollten Anleger in der Lage sein, leicht ein Histogramm zu generieren, das ihnen helfen sollte, die wahre Volatilität ihrer Anlagechancen zu messen. Fazit In der Praxis sollte die Verwendung eines Histogramms den Anlegern erlauben, das Risiko ihrer Anlagen auf eine Art und Weise zu untersuchen, die es ihnen ermöglicht, den Geldbetrag, den sie auf Jahresbasis halten oder verlieren, zu beurteilen. Angesichts dieser Art der realen Welt Anwendbarkeit, sollten die Anleger weniger überrascht sein, wenn die Märkte schwanken drastisch, und daher sollten sie sich viel mehr Inhalt mit ihrem Investment-Engagement in allen wirtschaftlichen Umgebungen. Um den Standardfehler der Schätzung zu finden, nehmen wir die Summe aller quadrierten Restterme und dividieren durch (n - 2) und nehmen dann die Quadratwurzel des Ergebnisses. In diesem Fall beträgt die Summe der quadrierten Reste 0.090.160.642.250.04 3.18. Mit fünf Beobachtungen, n - 2 3 und SEE (3.183) 12 1.03. Die Berechnung für Standardfehler ist relativ ähnlich der Standardabweichung für eine Probe (n - 2 wird anstelle von n - 1 verwendet). Es gibt einige Hinweise auf die prädiktive Qualität eines Regressionsmodells mit niedrigeren SEE-Zahlen, die zeigen, dass genauere Vorhersagen möglich sind. Die Standard-Fehler-Messung zeigt jedoch nicht, inwieweit die unabhängige Variable Variationen im abhängigen Modell erklärt. Bestimmungskoeffizient Wie der Standardfehler gibt diese Statistik einen Hinweis darauf, wie gut ein lineares Regressionsmodell als Schätzer von Werten für die abhängige Variable dient. Sie arbeitet, indem man den Bruchteil der Gesamtvariation in der abhängigen Variablen misst, die durch Variation in der unabhängigen Variable erklärt werden kann. In diesem Zusammenhang besteht die Gesamtvariation aus zwei Fraktionen: Gesamtvariation erklärt Variation unerklärliche Variation Gesamtvariation Gesamtvariation Der Bestimmungskoeffizient. Oder erklärter Variation als Prozentsatz der Gesamtvariation, ist der erste dieser beiden Ausdrücke. Es wird manchmal als 1 - (unerklärliche Variation Total Variation) ausgedrückt. Für eine einfache lineare Regression mit einer unabhängigen Variablen quadriert das einfache Verfahren zur Berechnung des Bestimmungskoeffizienten den Korrelationskoeffizienten zwischen den abhängigen und unabhängigen Variablen. Da der Korrelationskoeffizient durch r gegeben ist, wird der Bestimmungskoeffizient im Volksmund als R² oder R-Quadrat bezeichnet. Wenn beispielsweise der Korrelationskoeffizient 0,76 beträgt, ist das R-Quadrat (0,76) 2 0,578. R-Quadrat-Ausdrücke werden gewöhnlich als Prozentsätze ausgedrückt, weshalb 0,578 57,8 wäre. Ein zweites Verfahren zur Berechnung dieser Zahl besteht darin, die Gesamtvariation in der abhängigen Variablen Y als die Summe der quadrierten Abweichungen von dem Probenmittel zu finden. Als nächstes wird der Standardfehler der Schätzung nach dem im vorigen Abschnitt beschriebenen Verfahren berechnet. Der Koeffizient der Bestimmung wird dann durch (Gesamtvariation in Y) Gesamtvariation in Y berechnet. Dieses zweite Verfahren ist für mehrere Regressionen erforderlich, wobei es mehr als eine unabhängige Variable gibt, aber für unseren Kontext werden wir zur Verfügung gestellt Der r (Korrelationskoeffizient), um einen R-Quadrat zu berechnen. Was R 2 uns sagt, sind die Änderungen der abhängigen Variablen Y, die durch Änderungen in der unabhängigen Variablen X erklärt werden. R 2 von 57.8 sagt uns, dass 57.8 der Änderungen in Y aus X resultieren, dass auch 1 - 57.8 oder 42.2 von Die Änderungen in Y sind unerklärt durch X und sind das Ergebnis anderer Faktoren. Je höher der R-Quadrat, desto besser die Vorhersagecharakteristik des linearen Regressionsmodells. Regressionskoeffizienten Für einen Regressionskoeffizienten (Intercept a oder Slope b) kann ein Konfidenzintervall mit folgenden Informationen ermittelt werden: 13 Ein geschätzter Parameterwert aus einer Probe 13 Standardfehler der Schätzung (SEE) 13 Signifikanzniveau für die t - Verteilung 13 Freiheitsgrade (die Stichprobengröße - 2) 13 Für einen Steigungskoeffizienten wird die Formel für das Konfidenzintervall durch btc SEE angegeben, wobei tc der kritische t-Wert auf unserem gewählten signifikanten Niveau ist. Um zu veranschaulichen, nehmen Sie eine lineare Regression mit einem Investmentfonds Renditen als abhängige Variable und den SampP 500 Index als unabhängige Variable. Für fünf Jahre der vierteljährlichen Renditen ergibt sich der Steigungskoeffizient b als 1,18 mit einem Standardfehler der Schätzung von 0,147. Die Studierenden-t-Verteilung für 18 Freiheitsgrade (20 Quartale - 2) bei einer 0,05 Signifikanzniveau ist 2,011. Diese Daten geben uns ein Konfidenzintervall von 1,18 (0,147) (2,011) oder einen Bereich von 0,87 bis 1,49. Unsere Interpretation ist, dass es nur eine Chance von 5, dass die Steigung der Bevölkerung ist entweder weniger als 0,87 oder größer als 1,49 - wir sind 95 zuversichtlich, dass dieser Fonds mindestens 87 so flüchtig wie die SampP 500, aber nicht mehr als 149 wie Volatil, basierend auf unserer Fünf-Jahres-Stichprobe. Hypothesentests und Regressionskoeffizienten Regressionskoeffizienten werden häufig mit dem Hypothesentestverfahren getestet. Abhängig davon, was der Analytiker zu beweisen beabsichtigt, können wir einen Steigungskoeffizienten testen, um zu ermitteln, ob er die Chancen in der abhängigen Variablen und das Ausmaß, in dem sie Veränderungen erklärt, erklärt. Betas (Steigungskoeffizienten) können entweder über oder unter 1 (flüchtiger oder weniger flüchtig als der Markt) bestimmt werden. Alphas (der Intercept-Koeffizient) können auf einer Regression zwischen einem Investmentfonds und dem relevanten Marktindex getestet werden, um festzustellen, ob Anhaltspunkte für ein hinreichend positives Alpha vorliegen (was auf eine Wertschöpfung des Fondsmanagers schließen lässt). Die Mechanismen der Hypothesentests entsprechen denen, die wir vorher verwendet haben. Eine Nullhypothese wird auf der Grundlage eines ungleichen, grßer als oder kleiner als der Fall gewählt, wobei die Alternative alle Werte erfüllt, die nicht in dem null Fall abgedeckt sind. Angenommen in unserem vorherigen Beispiel, in dem wir eine Rendite auf dem SampP 500 für 20 Quartale zurückgestellt haben, ist unsere Hypothese, dass dieser Investmentfonds volatiler ist als der Markt. Ein Fonds, der der Marktvolatilität entspricht, wird eine Steigung b von 1,0 aufweisen, so dass für diesen Hypothesentest die Nullhypothese (H 0) als Fall angegeben wird, bei dem die Steigung kleiner oder gleich 1,0 ist (dh H 0: b lt 1,0 ). Die alternative Hypothese H a hat b gt 1,0. Wir wissen, dass dies ein größerer Fall ist (dh ein Schwanz) - wenn wir ein 0,05 Signifikanzniveau annehmen, ist t gleich 1.734 bei Freiheitsgraden n - 2 18. Beispiel: Interpretieren eines Hypothesentests Aus unserer Stichprobe haben wir Hatte b von 1,18 und Standardfehler von 0,147 geschätzt. Unsere Teststatistik wird mit dieser Formel berechnet: t geschätzter Koeffizient - hypothetischer Koeffizient. Standardfehler (1,18 - 1,0) 0,147 0,180,147 oder t 1,224. Für dieses Beispiel liegt unsere berechnete Teststatistik unter dem Ablehnungsniveau von 1,734, so dass wir nicht in der Lage sind, die Nullhypothese zurückzuweisen, dass der Fonds volatiler ist als der Markt. Interpretation: Die Hypothese, dass b gt 1 für diesen Fonds wahrscheinlich mehr Beobachtungen (Freiheitsgrade) benötigt, die mit statistischer Signifikanz nachgewiesen werden können. Auch bei 1,18 nur leicht über 1,0 ist es durchaus möglich, dass dieser Fonds eigentlich nicht so volatil ist wie der Markt, und wir waren richtig, die Nullhypothese nicht abzulehnen. Beispiel: Interpretation eines Regressionskoeffizienten Die CFA-Prüfung ist wahrscheinlich, die zusammenfassende Statistik einer linearen Regression zu geben und um Interpretation zu bitten. Zur Veranschaulichung gehen die folgenden Statistiken für eine Regression zwischen einem Small-Cap-Wachstumsfonds und dem Russell 2000-Index in Betracht: 13 Korrelationskoeffizient 13 Die beiden Abkürzungen sind RSS und SSE: 13 RSS. Oder die Regressions-Summe der Quadrate, ist die Summe der Gesamtvariation in der abhängigen Variablen Y, die in der Regressionsgleichung erklärt wird. Die RSS wird berechnet, indem jede Abweichung zwischen einem vorhergesagten Y-Wert und dem mittleren Y-Wert berechnet wird, wobei die Abweichung quadriert und alle Terme addiert werden. Wenn eine unabhängige Variable keine der Variationen einer abhängigen Variablen erklärt, dann sind die vorhergesagten Werte von Y gleich dem Mittelwert und RSS 0. 13 SSE. Oder die Summe des quadratischen Fehlers von Residuen berechnet, indem die Abweichung zwischen einem vorhergesagten Y und einem tatsächlichen Y ermittelt wird, das Ergebnis quadriert und alle Terme addiert werden. 13 TSS oder Gesamtabweichung ist die Summe aus RSS und SSE. Mit anderen Worten, diese ANOVA-Prozess bricht Varianz in zwei Teile: eine, die durch das Modell und eine, die nicht erklärt wird. Für eine Regressionsgleichung mit hoher prädiktiven Qualität müssen wir eine hohe RSS und eine niedrige SSE sehen, die das Verhältnis (RSS1) SSE (n - 2) hoch macht und (basierend auf einem Vergleich mit einem kritischen F - Wert) statistisch aussagekräftig. Der kritische Wert wird der F-Verteilung entnommen und basiert auf Freiheitsgraden. Zum Beispiel, mit 20 Beobachtungen, Freiheitsgrade wäre n-2 oder 18, was zu einem kritischen Wert (aus der Tabelle) von 2,19. Wenn RSS 2,5 und SSE 1,8 wäre, wäre die berechnete Teststatistik F (2,5 (1,818) 25, was über dem kritischen Wert liegt, was anzeigt, dass die Regressionsgleichung eine prädiktive Qualität aufweist (b ist von 0 verschieden) Mit Regressionsmodellen Regressionsmodelle werden häufig verwendet, um ökonomische Statistiken wie Inflation und BIP-Wachstum abzuschätzen. Es wird die folgende Regression zwischen der geschätzten jährlichen Inflation (X oder unabhängiger Variable) und der tatsächlichen Zahl (Y oder abhängiger Variable) durchgeführt: Modell würde die vorhergesagte Inflationszahl auf der Grundlage des Modells für die folgenden Inflationsszenarien berechnet: 13 Inflationsabschätzung 13 Inflation nach Modell 13 Die auf diesem Modell basierenden Prognosen scheinen am besten für typische Inflationsschätzungen zu funktionieren und deuten darauf hin, dass extreme Schätzungen dazu tendieren Überhöhte Inflation - zB eine tatsächliche Inflation von nur 4,46, wenn die Schätzung war 4.7 Das Modell scheint zu deuten darauf hin, dass Schätzungen sehr voraussagend sind. Um dieses Modell besser zu bewerten, müssten wir jedoch den Standardfehler und die Anzahl der Beobachtungen sehen, auf denen er basiert. Wenn wir den wahren Wert der Regressionsparameter (Slope und Intercept) kennen, wäre die Varianz eines beliebigen vorhergesagten Y-Werts gleich dem Quadrat des Standardfehlers. In der Praxis müssen wir die Regressionsparameter schätzen, also ist unser vorhergesagter Wert für Y eine Schätzung, die auf einem geschätzten Modell basiert. Wie zuversichtlich können wir in einem solchen Prozess sein Um ein Vorhersageintervall zu bestimmen, verwenden Sie die folgenden Schritte: 1. Prognostizieren Sie den Wert der abhängigen Variablen Y auf der Grundlage der unabhängigen Beobachtung X. 2. Berechnen Sie die Varianz des Vorhersagefehlers Wobei n die Anzahl der Beobachtungen ist, X der Wert der unabhängigen Variablen ist, die verwendet wird, um die Vorhersage durchzuführen, wobei X der geschätzte Mittelwert der unabhängigen Variablen und sx ist 2 ist die Varianz von X. 3. Wählen Sie ein Signifikanzniveau für das Konfidenzintervall. 4. Konstruieren Sie ein Intervall bei (1 -) Prozent Zuverlässigkeit mit der Struktur Y t c s f. Hier ist ein weiterer Fall, wo das Material viel technischer als notwendig wird und man kann sich in Vorbereitung, wenn in Wirklichkeit die Formel für die Varianz eines Vorhersagefehlers nicht wahrscheinlich abgedeckt werden. Prioritize - dont verschwenden kostbare Studienzeiten zu merken. Wenn das Konzept überhaupt getestet wird, youll wahrscheinlich die Antwort auf Teil 2 gegeben werden. Einfach wissen, wie die Struktur in Teil 4 verwenden, um eine Frage zu beantworten. Wenn zum Beispiel die vorhergesagte X-Beobachtung 2 für die Regression Y 1,5 2,5X ist, würden wir ein vorhergesagtes Y von 1,5 2,5 (2) oder 6,5 haben. Unser Vertrauensintervall beträgt 6,5 t c s f. Der t-stat basiert auf einem gewählten Vertrauensintervall und Freiheitsgraden, während sf die Quadratwurzel der obigen Gleichung ist (für Varianz des Prädiktionsfehlers: Wenn diese Zahlen tc 2.10 für 95 Vertrauen und sf 0.443 das Intervall sind Ist 6.5 (2.1) (0.443) oder 5.57 bis 7.43 Einschränkungen der Regressionsanalyse Konzentrieren Sie sich auf drei Hauptbeschränkungen: 1. Parameter Instabilität - Dies ist die Tendenz, dass sich die Beziehungen zwischen Variablen im Laufe der Zeit ändern, und zwar aufgrund von Veränderungen in der Wirtschaft oder den Märkten , Unter anderen Unsicherheiten. Wenn ein Investmentfonds eine Rückkehr Geschichte in einem Markt, in dem Technologie war ein Leadership-Sektor, das Modell kann nicht funktionieren, wenn ausländische Märkte und Small-Cap-Märkten sind führend. 2. Public Dissemination der Beziehung - In einem effizienten Markt , Kann dies die Effektivität dieser Beziehung in künftigen Perioden begrenzen. So zeigt beispielsweise die Entdeckung, dass niedrige Kurs-to-Book-Value-Werte einen hohen Preis-zu-Buch-Wert übertreffen, eine höhere Wertentwicklung und wertorientierte Investmentansätze Wird nicht beibehalten die gleiche Beziehung wie in der Vergangenheit. 3. Verletzung von Regressionsbeziehungen - Früher haben wir die sechs klassischen Annahmen einer linearen Regression zusammengefasst. In der realen Welt sind diese Annahmen oft unrealistisch - z. B. Dass die unabhängige Variable X nicht zufällig ist.
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